La formule sin a cos b fait partie des identités que l’on croise dès la Première spécialité maths, puis que l’on mobilise en Terminale dans des contextes plus exigeants : linéarisation, calcul intégral, résolution d’équations. Depuis la réforme des examens, l’épreuve anticipée de mathématiques en Première, organisée pour la première fois en juin 2026, se déroule sur deux heures et sans calculatrice. Elle comporte une partie QCM d’automatismes, ce qui rend la maîtrise rapide de ce type de transformation produit-somme particulièrement stratégique.
Formule sin a cos b : d’où vient-elle et pourquoi la retenir
La formule sin a cos b se déduit directement des deux formules d’addition du sinus. On part de ces deux identités :
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- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
En additionnant membre à membre ces deux égalités, les termes en cos a sin b s’annulent. On obtient alors sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos b, ce qui donne, après division par 2 :
sin a cos b = (1/2)[sin(a + b) + sin(a – b)]
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Cette transformation convertit un produit de fonctions trigonométriques en une somme. L’opération inverse (passer d’une somme à un produit) s’appelle la factorisation, et repose sur les mêmes identités lues dans l’autre sens.
Retenir le mécanisme de dérivation plutôt que la formule brute permet de la retrouver le jour de l’épreuve, même sans formulaire.
Produit en somme et somme en produit : les quatre formules à connaître
Sin a cos b n’est pas isolée. Elle appartient à un groupe de quatre formules de transformation produit-somme. Voici l’ensemble :
| Produit | Somme équivalente |
|---|---|
| sin a cos b | (1/2)[sin(a + b) + sin(a – b)] |
| cos a sin b | (1/2)[sin(a + b) – sin(a – b)] |
| cos a cos b | (1/2)[cos(a – b) + cos(a + b)] |
| sin a sin b | (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)] |
Les deux premières se déduisent des formules d’addition du sinus, les deux dernières de celles du cosinus. Une erreur fréquente consiste à confondre les signes entre sin a sin b et cos a cos b.
Pour cos a cos b, la somme apparaît avec un signe « + », tandis que pour sin a sin b, c’est un « – » devant cos(a + b).
Le signe change selon que l’on part du cosinus ou du sinus, et c’est le point qui fait trébucher la majorité des candidats sur les QCM d’automatismes.
Utiliser sin a cos b en linéarisation : méthode concrète
La linéarisation consiste à réécrire un produit ou une puissance de fonctions trigonométriques sous forme de combinaison de cosinus et sinus simples. C’est exactement ce que permet sin a cos b.
L’enjeu en Terminale est double : simplifier une expression avant dérivation ou préparer un calcul de primitive.
Exemple type : linéariser sin(3x) cos(x)
On pose a = 3x et b = x. L’application directe de la formule donne :
sin(3x) cos(x) = (1/2)[sin(3x + x) + sin(3x – x)] = (1/2)[sin(4x) + sin(2x)]
Le produit disparaît au profit d’une somme de sinus, chacun facile à dériver ou à intégrer. Sans linéarisation, la primitive de sin(3x) cos(x) n’est pas directement calculable avec les outils du programme de Terminale.
Exemple avec des valeurs remarquables
Calculer sin(pi/3) cos(pi/6) sans calculatrice. En appliquant la formule :
sin(pi/3) cos(pi/6) = (1/2)[sin(pi/3 + pi/6) + sin(pi/3 – pi/6)] = (1/2)[sin(pi/2) + sin(pi/6)] = (1/2)[1 + 1/2] = 3/4
On peut vérifier par calcul direct : sin(pi/3) = racine(3)/2 et cos(pi/6) = racine(3)/2, donc le produit vaut 3/4. Les deux chemins convergent, ce qui confirme la cohérence de la formule.
Formules d’addition et de duplication : le socle à ne pas confondre
Les formules produit-somme comme sin a cos b sont souvent confondues avec les formules d’addition ou de duplication. Voici comment les distinguer.
Les formules d’addition expriment le sinus ou le cosinus d’une somme d’angles : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Ce sont elles qui servent de point de départ pour démontrer les formules produit-somme.
Les formules de duplication sont un cas particulier des formules d’addition lorsque a = b. On obtient sin(2a) = 2 sin a cos a et cos(2a) = cos²a – sin²a. La formule sin(2a) = 2 sin a cos a est d’ailleurs un cas particulier de sin a cos b avec b = a.
Au bac, la confusion la plus courante est d’appliquer une formule d’addition là où une transformation produit-somme est attendue. Si l’énoncé donne un produit (sin x cos x, par exemple), penser transformation. Si l’énoncé donne sin(x + y), penser addition.
Épreuve sans calculatrice et QCM d’automatismes : ce que le bac 2026 change
L’épreuve anticipée de Première spécialité maths 2026 comporte une partie automatismes notée sur 6 points, sous forme de QCM. Le reste de l’épreuve, sur 14 points, consiste en des exercices classiques. L’ensemble se fait sans calculatrice, ce qui rend les formules de trigonométrie à appliquer de tête.
Des enseignants créateurs de contenus pédagogiques signalent une présence explicite de questions d’automatismes en trigonométrie dans les sujets types déjà diffusés. Transformer rapidement sin a cos b en somme, ou reconnaître une expression factorisable, entre directement dans le type de tâches attendues.
- Mémoriser les quatre formules produit-somme, pas seulement sin a cos b
- S’entraîner à retrouver la formule à partir des formules d’addition, pour ne pas dépendre de la seule mémoire
- Travailler les valeurs remarquables (pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) pour vérifier ses résultats sans calculatrice
- Identifier le sens de la transformation demandée : produit vers somme ou somme vers produit
La transformation de sin a cos b paraît simple sur le papier. En conditions d’examen, sans calculatrice et avec un temps limité, la différence se fait sur la rapidité d’exécution et l’absence d’erreur de signe.
Travailler ce point comme un automatisme, au même titre que les identités remarquables en algèbre, reste le moyen le plus fiable de sécuriser ces points au bac.
